Talìa la surgenti di Radianti

U '''radianti''' (gìniralmenti innìcatu '''rad''' quannu nìcissariu), eni la [[unità di misura|unitati di misura]] di la larchizza di li [[angulu|anguli]] dû [[Sistema 'ntirnazziunali di unitati di misura]]. Tali misura rapprìsenta u rapportu tra la [[lunchizza]] di l'[[Arcu (giometrìa)|arcu]] di [[circunfirenza]] tracciatu da l'[[angulu]] e la lunchizza dû [[Raggiu (giometrìa)|raggiu]] di tali circunfirenza; essennu u rapportu tra dui grannizzi omogenee eni nu [[nùmmaru puru]].

== Definizione di radiante ==
Si pigghìassi na [[circunfirenza]] cu centru nto vertici di l'angulu e lu sò arcu ntercìttatu da li dui semirette ca formanu l'angulu. Chiamammu <math>l</math> a lunchizza di tali arcu, <math>r</math> chidda dû raggiu, <math>c</math> chidda di la circunfirenza e <math>\alpha</math> l'ampiezza di l'angulu dìscrittu da l'arcu.

<math>\alpha^{\mathrm{rad}} = \frac{l}{r}</math>

<math>l = r \cdot \alpha^{\mathrm{rad}}</math>

Da ciò si evìnci ca u radianti eni nu nummaru puru, ossia eni '''adimensionali''', datu ca esprimi u rapportu tra dui lunchizzi.

Infatti: '''[rad] = [m] / [m] = [1]'''.

Dìfinemmu comu radianti l'ampiezza di l'angulu ca suttènni nu arcu di circunfirenza ca, rettìficatu, avi lunchizza uguali a lu raggiu di la circunfirenza stissa. 'N paroli poviri nu radianti eni l'angulu ca si avi 'n currìspunnenza di nu arcu di lunchizza pari a lu raggiu di la circunfirenza.

Essennu a lunchizza di la circunfirenza <math>c</math> uguali a <math>2\pi r</math> e lu raggiu longu <math>r</math>, l'angulu di nu [[cerchiu]] eni uguali a <math>2\pi</math>.

:<math>\alpha=\frac{2\pi r}{r}=2\pi.</math>

Ricurdannu ca la misura di la [[lunchizza]] di la [[circunfirenza]] eni:

:<math>c = 2 \pi r,</math>

Si pò scriviri a seguenti prupurzioni:

:<math>\frac{\alpha^{(\circ)}}{l} = \frac{360^\circ}{2\pi r},</math>

<math>\alpha</math> arrìsulta [[funzioni (matimàtica)|funzioni]] di <math>l</math>:

:<math>\alpha^{(\circ)} = f \left( l \right),</math>

Ossia:

:<math>\alpha^{(\circ)} (l) = \frac{360^\circ \cdot l}{2\pi r},</math>

Da cui:

:<math>\alpha^{(\circ)} (l) = \frac{l}{r} \cdot \frac{360^\circ }{2\pi}</math>

Dunque, punnnu <math>l=r</math>, da l'[[equazzioni]] pricirenti si utteni:

:<math>\alpha^{(\circ)} (l = r) = \frac{360^\circ }{2\pi} \approx 57{,}29578^\circ \approx 57^\circ \ 17' \ 44{,}8'' = 1\;\rm{rad}.</math>

Formulamu ùora nu angulu giru 'n radianti:

:<math>360^\circ = \frac{2\pi }{2\pi} \cdot  360^\circ = 2\pi \cdot \frac{360^\circ }{2\pi} =  2\pi\;\rm{rad}.</math>

Cu la seguenti prupurzioni si ottènnu i formuli pì passari da radianti a [[gradu d'arcu|gradi sessagesimali]] e viciversa:

:<math>\frac{\alpha^{(\circ)}}{\alpha^{\mathrm{rad}}} = \frac{360^\circ}{2\pi}</math>

:<math>\alpha ^{(\circ)} = \frac{360^\circ}{2\pi} \cdot \alpha^{\mathrm{rad}}</math>

:<math>\alpha^{\mathrm{rad}} = \frac{2\pi }{360^\circ} \cdot \alpha ^{(\circ)}.</math>

== Utilitati di la scelta dû radianti ==
A misura dû radianti cunsenti di aviri formuli trigonumetriche assai cchìu facili di chiddi ca si avissìru aduttannu i gradi sessagesimali o avutri unitati di misura di li anguli.

Sustanzialmenti i vantaggi dû radianti dìrivanu da lu fattu ca cu tali unitati si uttèni a semplici esprìssioni;

:<math>\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1</math>

E da chista si ottènnu assai avutri eleganti identitati dû calculu infinitesimali ca hannu mpurtanti cunsicuenzi pratiche. Tra chisti:
 
:<math> \frac{d}{dx} \sin x = \cos x </math>
:<math> \sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} - \dots </math>  
:<math> \cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} - \dots </math>.

Se si misurassìru li anguli 'n gradi o 'n avutri unitati di misura, formuli comu i pricirinti avissìru a essìri appìsantiti da custanti di cunvìrsioni e da loru putenzi.

== Cancìamentu gradi-radianti ==
Nu radianti eni uguali a <math>180/\pi</math> gradi. Pì cunvirtiri radianti 'n gradi eni quinni sufficenti multiplicari pì <math>180/\pi</math>:

:<math> \alpha^{(\circ)} = \alpha^{(\mathrm{rad})} \cdot \frac {180^\circ} {\pi}.</math>

Pì esempiu:

:<math>1 \mbox{ rad} = 1 \cdot \frac {180^\circ} {\pi} \approx 57{,}2958^\circ </math>

:<math>2{,}5 \mbox{ rad} = 2{,}5 \cdot \frac {180^\circ} {\pi} \approx 143{,}2394^\circ </math>

:<math>\frac {\pi} {3} \mbox{ rad} = \frac {\pi} {3} \cdot \frac {180^\circ} {\pi} = 60^\circ .</math>

Nta stissa maniera, pì cunvirtiri gradi 'n radianti si multiplicanu pì π/180:

:<math>\alpha^{(\mathrm{rad})} = \alpha^{(\circ)} \cdot \frac {\pi} {180^\circ}.</math>

Pì esempiu:

:<math>1^\circ = 1 \cdot \frac {\pi} {180^\circ} \approx 0{,}0175 \mbox{ rad}</math>

:<math>23^\circ = 23 \cdot \frac {\pi} {180^\circ} \approx 0{,}4014 \mbox{ rad}</math>

{| 
|-----
|
{| class="wikitable"
|-----
! gradi
! radianti
|-----
| 0 || 0
|-----
| 15 || π /12
|-----
| 30 || π /6
|-----
| 45 || π /4
|-----
| 60 || π /3
|-----
| 90 || π /2
|-----
| 120 || 2/3 π
|-----
| 135 || 3/4 π
|-----
| 150 || 5/6 π
|}
|
{| class="wikitable"
|-----
! gradi
! radianti
|-----
| 180 || π
|-----
| 210 || 7/6 π
|-----
| 225 || 5/4 π
|-----
| 240 || 4/3 π
|-----
| 270 || 3/2 π
|-----
| 300 || 5/3 π
|-----
| 315 || 7/4 π
|-----
| 330 || 11/6 π
|-----
| 360 || 2π
|}
|}

Si avi quinni:

:1 [[rad (unitati di misura)|rad]] = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secunni
:1 gradu = 0,01745 32925 19943 rad; 
:1 primu = 0,00029 08882 08666 rad
:1 secunnu = 0,00000 48481 36811 rad

== Talìa puru ==
* [[Gradu d'arcu]]
* [[Gradu cintesimali]]
* [[Angulu]]
* [[Pi grecu]]
* [[Steradianti]]
* [[Millesimu di radianti]]

{{Unitati di misura}}

[[Catigurìa:Anguli]]
[[Catigurìa:Trigunometria]]
[[Catigurìa:Unitati di misura]]
[[Catigurìa:Unitati di angulu]]